الأولى علوم تجريبية 

مبادئ في المنطق-ملخص

ملخص

كتابة عبارة رياضية باستعمال المكممات ∀ و ∃ و !∃

العبارة : « مهما يكن العدد الحقيقي $ x $ فإن : ${{x}^{2}}\ge 0 $ » ، تكتب رياضيا : \[ \left( \forall x\in \mathbb{R}\right),\,\,{{x}^{2}}\ge 0 \]
العبارة : « يوجد على الأقل عدد حقيقي $ y $ يحقق $ 3y-6 > 0 $ » ، تكتب رياضيا : \[ \left( \exists y\in \mathbb{R}\right),\,\,3y-6 > 0 \]
العبارة :« يوجد عدد حقيقي وحيد $ a $ يحقق ${{a}^{2}}=3 $ » ، تكتب رياضيا : \[ \left( \exists !a\in \mathbb{R}\right),\,\,{{a}^{2}}=3 \]
العبارة :« لكل عدد صحيح نسبي $ n $ يوجد عدد صحيحي نسبي أكبر منه » ،تكتب رياضيا : \[ \left( \forall n\in \mathbb{Z}\right)\left( \exists m\in \mathbb{Z}\right),\,\,m > n \]
العبارة :« يوجد عدد جذري أصغر من جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية » ، تكتب رياضيا : \[ \left( \exists a\in \mathbb{Q}\right)\left( \forall n\in \mathbb{N}\right),\,\,n > a \]

حقيقة عبارة رياضية

كل عبارة رياضية تكون إما صحيحة أو خاطئة، في الأمثلة السابقة:
العبارة الأولى صحيحة، لأن مربع أي عدد حقيقي يكون موجبا دائما حتى لو كان العدد سالبا.
العبارة الثانية صحيحة، فبعد حل المتراجحة $ 3y-6 > 0 $ نجد $ y > 2 $، إذن ما دمنا نستطيع أن نجد عددا أكبر من $ 2 $ ($ 3 $ مثلا) فهذا يعني أنه يوجد عدد حقيقي يحقق المتفاوتة $ 3y-6 > 0 $.
العبارة الثالثة غير صحيحة، لأنه يوجد عددان مختلفان يحققان ${{a}^{2}}=3 $، ($ \sqrt{3}$ و $ -\sqrt{3}$ )
العبارة الرابعة صحيحة ، فأي عدد صحيح نسبي إذا أضفنا إليه $ 1 $ مثلا نحصل على عدد صحيح نسبي أكبر منه
العبارة الأخيرة صحيحة أيضا فمثلا $ -1 $ عدد جذري و هو أصغر من كل الأعداد الصحيحة الطبيعية.

العمليات على العبارات

نفي عبارة $ P $: هي العبارة التي تكون صحيحة عندما تكون $ P $ خاطئة و تكون خاطئة عندما تكون $ P $ صحيحة ، و نرمز لها بـ $ \overline{P}$ أو $ \neg P $
عطف عبارتين $ P $ و $ Q $: هي العبارة التي تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارتان $ P $ و $ Q $ صحيحتان معا ، و نرمز لها بـ: $ \left( Q\,\,et\,\,P \right) $ أو أيضا $ P\wedge Q $
فصل عبارتين $ P $ أو $ Q $: هي العبارة التي تكون صحيحة إذا كانت إحدى العبارتان $ P $ أو $ Q $ صحيحة و تكون خاطئة إذا كانت العبارتان معا خاطئتان، و نرمز لها بـ: $ \left( Q\,\,ou\,\,P \right) $ أو أيضا $ P\vee Q $
الاستلزام $ P\Rightarrow \,\,Q $ : هي العبارة التي تكون صحيحة إذا كانت العبارتان $ P $ و $ Q $ صحيحتان معا أو كانت العبارة $ P $ خاطئة (سواء كانت $ Q $ صحيحة أم خاطئة) ، بمعنى أنها ستكون خاطئة فقط إذا كانت العبارة $ P $ صحيحة و $ Q $ خاطئة ، بمعنى أن للعبارة $P\Rightarrow \,\,Q$ نفس حقيقة العبارة $\left( P\,\,ou\,\,\overline{Q}\right)$
التكافؤ $ P\Leftrightarrow \,\,Q $ : هي العبارة التي تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارتان $ P $ و $ Q $ صحيحتان معا أو خاطئتان معا

طـــرق الاستدلال

إذا تعذر علينا البرهان على صحة عبارة راضية بطريقة مباشرة و ذلك مثلا لصعوبة استعمال المعطيات أو لسبب آخر فإن هناك طرقا رياضية تسمح بالبرهان على صحة أو خطأ هذه العبارة ، من أهمها :
إذا أردنا أن نبرهن أن عبارة ما صحيحة نفترض أنها خاطئة و نحاول أن نجد تناقضا أو عبارة غير صحيحة.
مثال : $ a $ عدد صحيح طبيعي حيث ${{a}^{3}}+{{a}^{2}}+a $ عدد فردي، بين أن $ a $ عدد فردي
نفترض أن $ a $ عدد زوجي، إذن ${{a}^{3}}=a\times a\times a $ زوجي و ${{a}^{2}}=a\times a $ زوجي
منه ${{a}^{3}}+{{a}^{2}}+a $ زوجي (لأن مجموع عدة أعداد زوجية هو عدد زوجي)
و هذا يناقض المعطيات. إذن الافتراض خاطئ و بالتالي نفيه صحيح أي أن $ a $ عدد فردي
إذا أردنا البرهان على صحة العبارة $ \left({{P}_{1}}\,\,\,\text{}\,\,\,{{P}_{2}}\,\,\,\text{}\,\,\,{{P}_{3}}\,\,\text{}\,\,... \right)\,\Rightarrow \,\,Q $ فإنه يمكننا عوضا عن ذلك أن نبرهن على صحة كل العبارات ${{P}_{1}}\Rightarrow \,\,Q $ و ${{P}_{2}}\Rightarrow \,\,Q $ و ${{P}_{3}}\Rightarrow \,\,Q $ و ...
مثال : بين أن: $ \forall x > 0\,\,\,\,x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}> 1 $
بما أن $ x > 0\, $ فإنه لدينا حالتان : $ 0 < x\le 1\, $ أو $ x > 1 $
الحالة الأولى : إذا كان $ x > 1 $ فإن : $ \dfrac{1}{\sqrt{x}}> 0 $ نجمع المتفاوتتين فنجد : $ \,x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}> 1 $
الحالة الثانية : إذا كان $ 0 < x\le 1\, $ فإن : $ \dfrac{1}{x}\ge 1 $ منه $ \dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge 1 $ و لدينا $ x > 0 $
نجمع فنجد : $ \,x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}> 1 $ إذن في جميع الحالات : $ \,x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}> 1 $.
إذا أردنا البرهان على صحة العبارة $ \forall n\ge{{n}_{0}}\,\,\,\,\,P\left( n \right) $ (عبارة تحتوي على متغير صحيح طبيعي) يمكن أن نبرهن على مايلي :
- $ P\left({{n}_{0}}\right) $ عبارة صحيحة (أي العبارة صحيحة بالنسبة لأول قيمة ${{n}_{0}}$ )
- نفترض صحة العبارة $ P\left( n \right) $ ثم نبين صحة العبارة $ P\left( n+1 \right) $
مثال : بين أن: $ \left( \forall n\in{{\mathbb{N}}^{*}}\right),\,\,\,\,\,\,1+2+...+n=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}$
بالنسبة لـ $ n=1 $ لدينا : $ \dfrac{1\times \left( 1+1 \right)}{2}=1 $ إذن المتساوية صحيحة بالنسبة لأول قيمة
نفترض صحة العبارة $ \,1+2+...+n=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}$ و لنبين أن : $ \,1+2+...+n+\left( n+1 \right)=\dfrac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{2}$
لدينا : \[ \begin{aligned}1+2+...+n+\left( n+1 \right) &=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}+\left( n+1 \right) \\ &=\dfrac{n\left( n+1 \right)+2\left( n+1 \right)}{2}\\ 1+2+...+n+\left( n+1 \right) &=\dfrac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{2}\end{aligned}\]و هذا ينهي البرهان