Première année Bac SM 

Notions de logique-Résumé

Première année Bac SM
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Résumé

Proposition (ou assertion)

Une proposition logique (ou assertion) est une affirmation formée d'un assemblage de symboles et de mots, portant sur des objets mathématiques, à laquelle on peut clairement attribuer la valeur vraie ou la valeur faux.
La proposition «quel que soit le réel$ x $ , ${{x}^{2}}\ge 0 $» s’écrit : \[ \left( \forall x\in \mathbb{R}\right),\,\,{{x}^{2}}\ge 0 \] Cette assertion est vraie.
La proposition «il existe au moins un réel $ y $ vérifiant, $ 3y-6 > 0 $» s’écrit : \[ \left( \exists y\in \mathbb{R}\right),\,\,3y-6 > 0 \] Cette assertion est vraie, car si on prend$ y=3 $, on obtient un réel strictement positif
La proposition «il existe un unique réel $ a $ vérifiant dont le carré égale à $ 3 $» s’écrit : \[ \left( \exists !a\in \mathbb{R}\right),\,\,{{a}^{2}}=3 \] Cette assertion est fausse, car ils existent deux réels vérifiant ${{a}^{2}}=3 $ : $ \sqrt{3}$ et $ -\sqrt{3}$
La proposition «pour tout réel$ x $, il existe un réel $ y $ supérieur à $ x $ » s’écrit : \[ \left( \forall x\in \mathbb{R}\right)\left( \exists \,y\in \mathbb{R}\right),y > x+1 \] Cette assertion est vraie, car on toujours $ x+1 > x $ quel que soit le réel $ x $
La proposition «il existe un entier inferieur à tous les entiers » s’écrit : \[ \left( \exists a\in \mathbb{Z}\right)\left( \forall n\in \mathbb{Z}\right),a < n \] Cette assertion est fausse, car l’ensemble $ \mathbb{Z}$ est infinie, donc on ne peut pas trouver un élément de $ \mathbb{Z}$ inferieur à tous les éléments de $ \mathbb{Z}$

Calcul propositionnel

Une proposition logique (ou assertion) est une affirmation formée d'un assemblage de symboles et de mots, portant sur des objets mathématiques, à laquelle on peut clairement attribuer la valeur vraie ou la valeur faux.
L’assertion «$ non\,\,P $» est vraie si $ P $ est fausse, et fausse si $ P $ est vraie.
L’assertion «$ P\,et\,Q $» est vraie si $ P $ est vraie et $ Q $ est vraie.
L’assertion «$ P\,et\,Q $» est fausse sinon
L’assertion «$ P\,ou\,Q $» est vraie si l’une des deux assertions $ P $ ou $ Q $ est vraie.
L’assertion «$ P\,ou\,Q $» est fausse si les deux assertions $ P $ et $ Q $ sont fausses.
L’assertion «$ P\,\Rightarrow \,Q $ » est vraie si $ P $ et $ Q $ sont vraies, ou si $ P $ est fausse.
L’assertion «$ P\,\Rightarrow \,Q $» est fausse si $ P $ est vraie et $ Q $ est fausse.
L’assertion «$ P\,\Rightarrow \,Q $ » est de la même vérité que l’assertion «$ non\,P\,\,ou\,\,Q $ »
L’assertion «$ P\,\Leftrightarrow \,Q $ » est vraie lorsque $ P $ et $ Q $ sont vraies ou lorsque $ P $ et $ Q $ sont fausses.
L’assertion «$ P\,\Leftrightarrow \,Q $ » est fausse l’une des assertions $ P $ et $ Q $ est vraie et l’autre est fausse.

Raisonnements

Si nous ne pouvons prouver la validité d'une assertion directement, par exemple la difficulté d'utiliser des données ou pour une autre raison, il existe des méthodes de raisonnement pour montrer qu'une telle assertion est vraie ou fausse, dont la plus importante.
Si l’on souhaite vérifier une assertion $ P\left( x \right) $ pour tous les $ x $ dans un ensemble E, on montre l’assertion pour les x dans une partie A de E, puis pour les x n’appartenant pas à A. C’est la méthode de disjonction ou du cas par cas.
Montrer que : $ \left( \forall x\in \mathbb{R}\right),\,\,\sqrt{{{x}^{2}}+2}> x $
Soit $ x\in \mathbb{R}$.
si $ x\in \left] -\infty \,;\,0 \right] $, alors $ x\le 0 $, or ${{x}^{2}}+2\ge 2 $, alors $ \sqrt{{{x}^{2}}+2}\ge \sqrt{2}> 0 $, donc $ \sqrt{{{x}^{2}}+2}> 0\ge x $, donc $ \sqrt{{{x}^{2}}+2}> x $
si $ x\in \left[ 0;\,+\infty \right[ $, alors $ 2 > 0\Rightarrow{{x}^{2}}+2 >{{x}^{2}}\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2}> \sqrt{{{x}^{2}}}\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2}> \left| x \right|\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2}> x $
dans tous les cas $ \sqrt{{{x}^{2}}+2}> x $, d’où le résultat.
Pour montrer que assertion est fausse, on suppose qu’elle est vraie, puis on cherche à trouver une contradiction ou une assertion clairement fausse.
Montrer que : $ \sqrt{5}\notin \mathbb{N}$
Supposons que$ \sqrt{5}\in \mathbb{N}$, alors, il existe $ n\in \mathbb{N}$ tel que : $ n=\sqrt{5}$
donc${{n}^{2}}=5 $, or $ 4 < 5 < 9 $ , alors${{2}^{2}}<{{n}^{2}}<{{3}^{2}}$, par suite$ 2 < n < 3 $, ce qui est impossible, car il n’existe aucun entier entre $ 2 $ et$ 3 $, d’où le résultat.
Pour montrer que$ P\Rightarrow Q $, on montrer que $ non\,Q\Rightarrow non\,P $
Montrer que : $ \left( \forall x > 0 \right),\,\,\,{{x}^{5}}+x > 2\,\,\,\Rightarrow x > 1 $
Montrons que : $ \left( \forall x > 0 \right),\,\,\,x\le 1\Rightarrow{{x}^{5}}+x\le 2 $
En effet, soit $ x > 0 $, on a
\[ x\le 1\Rightarrow{{x}^{5}}\le 1\Rightarrow{{x}^{5}}+x\le 1+1\Rightarrow{{x}^{5}}+x\le 2 \] D’où le résultat.
Pour montrer qu’une assertion$ P\left( n \right) $, dépendant de$ n $, est vraie pour tout $ n\in \mathbb{N}$,on démontre d’abord que $ P\left( 0 \right) $ est vraie, puis, on suppose que $ P\left( n \right) $ pour un $ n\in \mathbb{N}$ fixé est vraie, et on montre que $ P\left( n+1 \right) $ est aussi vraie.
Montrer que : $ \left( \forall n\in \mathbb{N}\right),\,\,\,{{n}^{2}}+n\,\,est\,\,pair $
Pour$ n=0 $, ${{0}^{2}}+0=0\, $est pair
Soit$ n\in \mathbb{N}$, supposons que ${{n}^{2}}+n\,\,est\,\,pair $ et montrons que ${{\left( n+1 \right)}^{2}}+\left( n+1 \right)\,\,est\,\,pair $
On a: ${{n}^{2}}+n\,\,est\,\,pair $, donc il existe $ k\in \mathbb{N}$ tel que : ${{n}^{2}}+n=2\,k $, donc : \[ \begin{aligned}{{\left( n+1 \right)}^{2}}+\left( n+1 \right) &={{n}^{2}}+2n+1+n+1 \\[1.5ex] &={{n}^{2}}+n+2n+2 \\[1.5ex] &=2k+2n+2 \\[1.5ex]{{\left( n+1 \right)}^{2}}+\left( n+1 \right)&=2\left( k+n+1 \right) \end{aligned}\] donc, ${{\left( n+1 \right)}^{2}}+\left( n+1 \right)\,\,est\,\,pair $
d’où le résultat.