الجذع المشترك العلمي 

الحساب المتجهي-ملخص

الجذع المشترك العلمي
قائمة الدرس
ملخص

تساوي متجهتين

لتكن $ \overrightarrow{AB}$ و $ \overrightarrow{CD}$ متجهتين غير منعدمتين.
نقول أن المتجهتين $ \overrightarrow{AB}$ و $ \overrightarrow{CD}$ متساويتان إذا كان :

لهما نفس الاتجاه ( أي $ \left( AB \right)\,//\,\left( CD \right) $)

لهما نفس المنحى ( أي المنحى $ A\mapsto B $ هو نفس المنحى $ C\mapsto D $)

لهما نفس المنظم ( أي $ AB=CD $)

المتجهة $ \overrightarrow{AA}$ تسمى المتجهة المنعدمة و ليس لها اتجاه و منظمها منعدم، نكتب: $ \overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$

شكل توضيحي لتعريف متجهة

تساوي متجهتين و متوازي الأضلاع

لتكن $ A $ و $ B $ و $ C $ و $ D $ نقطا من المستوى $ \left( P \right) $ حيث $ A\ne B $.

يكون الرباعي $ ABCD $ متوازي أضلاع إذا و فقط إذا كان $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

يمكن أن تكون المتساوية $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ صحيحة و النقط $ A $ و $ B $ و $ C $ و $ D $ مستقيمية ،في هذه الحالة تظل الخاصية صحيحة و يسمى $ ABCD $ متوازي أضلاع مبطح

متوازي الأضلاع و تساوي متجهتين

مجموع متجهتين

مجموع المتجهتين $ \overrightarrow{AB}$ و $ \overrightarrow{AC}$ هو المتجهة $ \overrightarrow{AM}$ حيث يكون الرباعي $ ABMC $ متوازي أضلاع
متوازي الأضلاع و تساوي متجهتين
كيفما كانت النقط $ A $ و $ B $ و $ C $ فإن : $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

ضرب متجهة في عدد حقيقي

$ \overrightarrow{AB}$ متجهة غير منعدمة و $ k $ عدد حقيقي.

جذاء المتجهة $ \overrightarrow{AB}$ في العدد $ k $ هي المتجهة $ \overrightarrow{AM}$ حيث $ M $ نقطة تحقق :

$ A $ و $ B $ و $ M $ نقط مستقيمية

$ AM=k\,AB $ و $ \overrightarrow{AB}$ و $ \overrightarrow{AM}$ لهما نفس المنحى في حالة $ k > 0 $

$ AM=-k\,AB $ و$ \overrightarrow{AB}$ و $ \overrightarrow{AM}$ مختلفتا المنحى في حالة $ k < 0 $

$ 0\,\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$ ، $ 1.\,\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$ ، $ -1.\,\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$

لا يصح مطلقا: كتابة : $ \overrightarrow{AB}\,.\,k $ و لا $ \dfrac{\overrightarrow{AB}\,}{k}$ ، بل نكتب: $ k\,.\,\overrightarrow{AB}$ و $ \dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{AB}$

ضرب متجهة في عدد حقيقي

مهما تكن المتجهتان $ \overrightarrow{u}$ و $ \overrightarrow{v}$ و مهما يكن العددان الحقيقيان $ a $ و $ b $، لدينا :

$ a\,\left( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=a\,\overrightarrow{u}+b\,\overrightarrow{v}$ ، $ \left( a+b \right)\,\,\overrightarrow{u}=a\,\overrightarrow{u}+b\,\overrightarrow{u}$ $ a\,\,\left( b\,\overrightarrow{u}\right)=\left( a\,b \right)\,\overrightarrow{u}$

إذا كان : $ a\,\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ فإن : $ a=0 $ أو $ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

استقامية متجهتين

نقول أن المتجهتين $ \overrightarrow{u}$ و $ \overrightarrow{v}$ مستقيميتان إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي $ k $ حيث: $ \overrightarrow{v}=k\,\overrightarrow{u}$ أو $ \overrightarrow{u}=k\,\overrightarrow{v}$
تكون النقط$ A $ و $ B $ و $ C $ مستقيمية إذا و فقط إذا وجد عدد حقيقي $ k $ حيث $ \overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}$ أو $ \overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}$
يكون لدينا $ \left( AB \right)//\left( CD \right) $ إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي $ k $ حيث: $ \overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{CD}$ أو $ \overrightarrow{CD}=k\,\overrightarrow{AB}$

منتصف قطعة

$ I $ منتصف القطعة $ \left[ AB \right] $ يعني $ \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$

$ I $ منتصف القطعة $ \left[ AB \right] $ يعني $ \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$ I $ منتصف القطعة $ \left[ AB \right] $ يعني $ \overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}$

منتصف قطعة
إذا كانت $ I $ منتصف القطعة $ \left[ AB \right] $ و كانت $ M $ نقطة من المستوى فإن: $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\,\overrightarrow{MI}$
نتيجة منتصف قطعة