Tronc Commun 

Notions élémentaires d'arithmétique-Résumé

Tronc Commun
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Résumé

Les nombres pairs et les nombres impairs

Soit $ a $ un nombre entier naturel.
On dit que $ a $ est un nombre pair s'il est divisible par $ 2 $
On dit que $ a $ est un nombre impair s'il n'est divisible par $ 2 $
Soit $ a $ un nombre entier naturel.
Si $ a $ est pair alors il s'écrit sous la forme: $ a=2\times k $ où $ k $ est un entier naturel
On dit que $ a $ est un nombre impair s'il n'est divisible par $ 2 $
Le nombre de $ 2018 $ est pair car $ 2018=2\times 1009 $ où $ 1009 $ est un entier naturel
Le nombre de $ 2017 $ est impair car $ 2017=2\times 1008+1 $ où $ 1008 $ est un entier naturel
Le nombre $ 4a+10 $ (où $ a $ est un entier naturel) est pair car $ 4a+10=2\left(2a+5 \right) $
Le produit de deux nombres consécutifs est un nombre pair
Le nombre $ {{a}^{2}}+a $ (où $ a $ est un entier naturel) est pair car $ {{a}^{2}}+a=a\,\left( a+1 \right) $
Le nombre $ {{a}^{4}}-{{a}^{2}} $ (où $ a $ est un entier naturel) est pair car $ {{a}^{4}}-{{a}^{2}}=\left( {{a}^{2}}-1 \right)\times {{a}^{2}} $

Les multiples/diviseurs d’un entier naturel

Soient $ a $ et $ b $ deux entiers naturels.
On dit que $ a $ est multiple de $ b $ s’il s’écrit sous la forme $ a=k\,b $ où $ k $ est un entier naturel
On dit que $ a $ est un diviseur de $ b $ si ce dernier est multiple de $ a $
Le nombre $ 100 $ est un multiple de $ 20 $ car $ 100=20\times 5 $
Le nombre $ 6 $ divise $ 18 $ car $ 18=3\times 6 $

Plus grand commun diviseur - Plus petit commun multiple

Soient $ a $ , $ b $ , $ d $ et $ m $ des entiers naturels non nuls.
le plus grand commun diviseur ou – en abrégé PGCD – de deux nombres entiers non nuls est le plus grand entier qui les divise simultanément. On le note $ a\wedge b $ ou $ PGCD\left( a,\text{ }b \right) $
Le plus petit commun multiple – en abrégé PPCM – de deux entiers non nuls a et b est le plus petit entier strictement positif qui soit à la fois multiple de ces deux nombres. On le note $ a\vee b $ ou $ PPCM\left( a,\text{ }b \right) $
$ PGCD\left( 10\,,\,15 \right)=5 $ , $ PGCD\left( 8\,,\,3 \right)=1 $ , $ PGCD\left( 15\,,\,30 \right)=15 $
$ PPCM\left( 10\,,\,15 \right)=30 $, $ PPCM\left( 8\,,\,3 \right)=24 $ , $ PPPCM\left( 15\,,\,30 \right)=30 $

Les nombres premiers

Soit $ p $ un nombre entier naturel non nul.
On dit que $ p $ est premier s’il admet exactement deux diviseurs
Les nombres $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $, $ 11 $ , $ 13 $ , $ 17 $ $ 19 $, et $ 32 $ sont des nombres premiers
le nombre $ 20 $ n’est pas premier (ses diviseurs sont: $ 1 $ , $ 2 $, $ 4 $ , $ 5 $ , $ 10 $ et $ 20 $ )
Le nombre $ 1 $ n’est pas premier car il admet exactement un diviseur